Kombinatorik

Kombinatorik beskæftiger sig med at tælle antallet af kombinationer. Anvendelserne af kombinatorikken spænder meget bredt, men to klassiske eksempler handler om spilsandsynligheder og rutelogistik (se evt. Travelling salesman problem). Lidt mere børnevenlige anvendelser kunne fx være kombinationer af vaffelis eller opbygningen af en PIN-kode.

 

Inden for kombinatorikken opdeles i 4 scenarier, der er kombinationerne af to variable; rækkefølgens betydning ("ordnetheden") og gentagelsens mulighed (tilbagelægning).

 

Hvis rækkefølgen scenariets elementer oplistes i har betydning kaldes det for et ordnet udvalg. Hvis ikke, kaldes det for uordnet.

 

Hvis hver af scenariets elementer gerne må anvendes flere gange i de enkelte kombinationer, siges det at være med tilbagelægning. Hvis hvert element kun må anvendes én gang i kombinationen, siges det at være uden tilbagelægning.

 

Herunder ses en matrix, hvor er der givet ét eksempel på hvert scenarie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Opgave 1: Find på scenarier

Find selv på 4 eksempler til hver af de 4 scenarier herover. Læg mærke til at man i nogle tilfælde godt kan være uenige om, hvorvidt noget er ordnet eller uordnet og med/uden tilbagelægning. Fx. vil flere synes at rækkefølgen er ligegyldig, når man laver en isvaffel med 3 kugler, mens andre nøje vil have overvejet, hvilken kugle is der skal nydes først, og hvilken der smelter i bunden og måske ikke bliver spist grundet manglende appetit.

 

 

Formler til beregning af antallet af kombinationsmuligheder

 

n =det samlede antal, man i alt har at vælge imellem

r = det antal man skal udvælge

 

Hvis man fx. har en isbod med 15 forskellige slags is, og man skal lave en is på 3 kugler, så er n=15 og r=3

 

 

Ordnet uden tilbagelægning:

 

 

 

 

 

 

Uordnet uden tilbagelægning:

 

 

 

 

 

 

Ordnet med tilbagelægning:

 

 

 

 

Uordnet med tilbagelægning:

 

 

 

 

 

 

 

Opgave 2: Ordnet uden tilbagelægning - blandede opgaver

 

Beregn antallet af forskellige kombinationsmuligheder i disse scenarier:

 

A) Radioen har 25 sange at vælge imellem til deres top 3, men kan kun vælge 3 af dem. Hvor mange måder kan det gøres på?

B) I et racerløb deltager 8 biler. På hvor mange måder kan de 4 første biler placere sig?

C) I en klasse på 24 elever skal 5 elever fremlægge efter tur. På hvor mange måder kan eleverne sættes til at fremlægge?

D) 13 skrigende damer løber mod en kø i et storcenter. På hvor mange forskellige måder kan de komme til at stå i kø på?

E) En pige i 4.klasse skal vælge sin yndlings og næstyndlings fyr fra One Direction. På hvor mange måder kan det gøres?

F) 8.b skal have nye pladser. De er 24 i klassen. På hvor mange måder kan de placeres? (Her er der muligvis en lille fælde...☺️)

 

 

Opgave 3: Ordnet uden tilbagelægning - find selv på scenarierne

 

Find på 5 regnehistorier med et ordnet uden tilbagelægning-scenarie, der opfylder kravet i opgaven:

 

A) Der skal være 30 at vælge imellem (n=30)

B) Der skal udvælges 11 (r=11)

C) Der skal være 120 forskellige kombinationsmuligheder (P(n,r)=120)

D) Der skal være 2184 forskellige kombinationsmuligheder (P(n,r)=2184)

E) Der skal vælges 6 og der skal være 3.603.600 forskellige kombinationsmuligheder (P(n,r)=3.603.600)

 

 

Opgave 4: Ordnet uden tilbagelægning - undersøgelse i klassen

 

Du skal lave en undersøgelse blandt dine klassekammerater. Du skal give dem valget mellem 5 forskellige ting og bede dem vælge 2 i prioriteret rækkefølge. Fx "Hvis du skal vælge mellem pære, banan, æble, ananas og vandmelon - hvad kan du så bedst og næstbedst lide?"

 

Inden du undersøger:

A) Hvilke 5 ting skal der vælges imellem?

B) Efter hvilket kriterie skal dine klassekammerater vælge? (Det de bedst kan lide? Det de mindst kan lide? Det de helst vil? Det de helst vil undgå?)

C) Hvor mange kombinationsmuligheder er der i scenariet hvor n=5 og r=2?

D) Hvilken kombinationsmulighed ville du selv vælge? Og tror du andre vil vælge lige som dig?

E) Lav et papir, hvor du kan skrive dine kammeraters svar op, når du går rundt og spørger dem.

 

Efter du har undersøgt:

F) Hvor mange af de mulige kombinationsmuligheder blev der svaret? Var der nogle af kombinationerne kom flere valgte?

G) Var der kombinationsmuligheder som ingen valgte? Hvilke? Og hvorfor tror du?

H) Er sandsynligheden lige stor for at en klassekammerat vælger den ene kombination fremfor den anden? Hvorfor/hvorfor ikke?

 

 

Opgave 5: Ordnet uden tilbagelægning - opstillinger i klassen (gruppearbejde)

 

I tæller op hvor mange I er i gruppen - dette er jeres n. Svært! 😉

 

A) På hvor mange måder kan I vælge at sende 1 ud for døren?

B) På hvor mange måder kan I vælge 2, en gruppeformand og en næstformand?

C) På hvor mange måder kan I placere 3 af jer i en go kart tunering?

D) På hvor mange måder kan I placere 4 af jer i et stafetløb?

E) På hvor mange måder kan I vælge 5 ud, der på skift efter tur skal op og spørge om hjælp?

 

*****

 

Opgave 6: Uordnet uden tilbagelægning - Lis på lejrskole

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A) Der skal vælges 2 personer til at planlægge lejrskolen ud af Lis' klasse på 20 elever. På hvormange måder kan det gøres?

B) Lis skal på lejrskole og skal have 4 bluser med. I hendes skab er 17 bluser at vælge imellem. Hvor mange kombinationsmuligheder er der?

C) Lis vil også gerne have bukser med på lejrskolen, men har kun plads til 3 par. Hun har 8 par bukser at vælge imellem? Hvor mange kombinationsmuligheder er der for bukserne?

D) Hvor mange kombinationsmuligheder er der i alt for bluser og bukser sammen? (Hint: Multiplikationsmetoden)

E) Lis skal i toget sidde sammen med 3 andre, og hun vil helst sidde sammen med pigerne. Der er 12 piger i klassen i alt. I hvor mange forskellige kombinationer kan Lis havne i toget?

F) På lejrskolen skal de have aftensmad 4 gange. De kan vælge imellem 9 forskellige retter på deres vandrehjem. På hvor mange forskellige måder kan deres aftensmad de fire dage skrues sammen?

G) Den sidste dag skal der vælges 4 elever i klassen, der skal rense toiletterne. Thomas blev ringet syg hjem på 2.dagen, da han lå og knækkede sig, så der er kun 19 elever tilbage. På hvor mange måder kan der vælges 4 elever til toilettjansen?

H) Da de kommer hjem ringer de fra vandrehjemmet, og fortæller at "nogen" har smadret en lampe. På overvågningen kunne de se, at der var 2 personer om det. Hvor mange kombinationsmuligheder er der for den slyngel-agtige elevduo?

I) Èn elev skal skrive til skolebladet om lejrskolen. På hvor mange måder kan denne elev vælges?

 

 

Opgave 7: Uordnet uden tilbagelægning - valg til udvalg

 

Der skal vælge et antal personer (r) ud af et samlet antal personer (n) til et udvalg på r antal personer. Det kunne eksempelvis være et udvalg på 3 personer (r=3), der skulle ud vælges mellem 6 personer (n=6).

 

Hvor mange kombinationsmuligheder er der, hvis....

 

  • Der er 3 personer i alt, og der skal vælges hhv. 0,1,2 og 3 personer? (Bemærk, at der her er 4 delopgaver)
  • Der er 4 personer i alt, og der skal vælges hhv. 0,1,2,3 og 4 personer? (Bemærk, at der her er 5 delopgaver)
  • Der er 5 personer i alt, og der skal vælges hhv. 0,1,2,3,4 og 5 personer? (Bemærk, at der her er 6 delopgaver)
  • Der er 6 personer i alt, og der skal vælges hhv. 0,1,2,3,4,5 og 6 personer? (Bemærk, at der her er 7 delopgaver)
  • Der er 7 personer i alt, og der skal vælges hhv. 0,1,2,3,4,5,6 og 7 personer? (Bemærk, at der her er 8 delopgaver)
  • Kan du se noget bekendt eller systematisk ved dine svar ovenfor? Prøv evt. at skrive svarene op på rækker under hinanden...

 

 

Opgave 8: Uordnet uden tilbagelægning- Vind i LOTTO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I LOTTO udtrækkes 7 nummerede bolde af en bowle med i alt 36 bolde. De 7 numre er vindertallene, og har du gættet dem alle rigtigt, så vinder du hovedpræmien. Du vinder også, hvis du har mellem 4 og 6 rigtige tal blandt dine gæt - dog bliver præmierne mindre jo færre tal du gætter rigtigt.

 

En tilfældig uge fordelte præmiepengene sig således:

 

7 rigtige: 9 mio. kr

6 rigtige: 2000 kr

5 rigtige: 150 kr

4 rigtige: 40 kr

 

A) På hvor mange måder kan der udtrækkes 7 bolde af bowlen?

B) Hvad er sandsynligheden for at gætte de 7 rigtige (som brøk og i procent), hvis man kun spiller på én række af tal?

C) Hvad er sandsynligheden for at gætte de 7 rigtige (som brøk og i procent), hvis man spiller på 10 rækker af tal?

D) Hvor mange talrækker skal man spille på, hvis man vil være sikker på at vinde hovedpræmien?

E) Hvad vil det koste dig at spille på alle de rækker i spørgsmål D ovenfor?

 

En kupon består af 10 rækker (dvs. 10 forskellige kombinationer), der koster 40 kr. Dvs. i gennemsnit 4 kr/kombination.

 

F) Kan det betale sig at spille på alle de forskellige kombinationer der findes, hvis du sammenligner gevinsten med udgiften til kuponer? Begrund!

G) På hvormange forskellige måder kan du have fået 6 rigtige? 5 rigtige? 4 rigtige?

H) Hvad er sandsynligheden for at du med én kupon får hhv. 6, 5 og 4 rigtige (i procent)?

 

I) Undersøg opbygningen af spillet Eurojackpot på Danske Spils hjemmeside? Hvordan adskiller opbygningen af Eurojackpot sig fra Lotto? Hvad gør det ved antallet af kombinationer og sandsynlighederne for at vinde? Hvor stor er præmien i Eurojackpot?

 

 

Opgave 9: Ordnet med tilbagelægning

 

Beregn antallet af forskellige kombinationsmuligheder i følgende scenarier:

 

A) Lis skal lave et armbånd i SFO'en. Der er 6 forskellige slags perler at vælge imellem, og der er plads til 15 perler på et armbånd. Hvor mange forskellige armbånd er det muligt at lave for Lis?

B) Lis holder en vild ungdomsfest og skal fylde en playliste ud med 30 sange. Hun har 15 forskellige cd'er med 20 numre på hver (nej, hun er ikke kommet ind i den digitale tidsalder). Hvor mange forskellige playlister kan Lis lave?

C) Lis skal finde på en ny PIN-kode, da hendes lillebror har gættet den anden. Den skal være på 4 cifre. Hvor mange forskellige kombinationsmuligheder er der? Hvad hvis den var 6 cifret? Eller 8-cifret? Og hvad hvis 0 ikke må stå først?

D) Karl skal lave madplan for hele ugen derhjemme. Han kan kun finde ud af, at lave 17 forskellige retter. Hvor mange forskellige madplaner, kan der laves?

 

 

Opgave 10: Ordnet med tilbagelægning - Mastermind

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hent spillet Mastermind til din telefon eller spil det her: http://www.web-games-online.com/mastermind/

 

A) Hvor mange mulige kombinationer findes der, hvis der er 4 farver at vælge imellem og 4 pladser (se foto ovenfor)?

B) Hvad er sandsynligheden for at du gætter den rette kombination i 1.gæt, hvis der er 4 pladser og 4 farver?

C) Hvor mange kombinationer er der, hvis der er 4 pladser og 8 farver?

D) Hvor mange kombinationer er der, hvis der er 6 pladser og 4 farver? 8 farver?

E) Hvor mange kombinationer er der, hvis der er 8 pladser og 4 farver? 8 farver?

 

F) Hvilken taktik for at gætte rigtigt i færrest mulige træk ville du vælge? Hvorfor?

G) Lav en undersøgelse, hvor du spiller 4 farver på 4 pladser. Spil 5 gange og find ud af, hvor mange rækker du i gennemsnit er om at gætte kombinationen. Link til spil: http://www.duda.dk/spil/mastermind/mastermind.html

H) Lav samme undersøgelse som før, men denne gang med 8 farver og 4 pladser. Hvor mange rækker bruger du nu i gennemsnit? (Brug linket øverst i opgaven)

 

I) Konkurrér i klassen, om hvem der kan gætte kombinationen i færrest rækker. Hvad skal man være god til? Spiller held ind? Hvordan?

J) I hvor høj grad kan man være "god til Mastermind"? På hvilke områder?

 

 

Opgave 11: Ordnet med tilbagelægning - Nummerplader

 

Undersøg hvordan det danske nummerpladesystem er bygget op, eller brug denne forsimpling:

Hver plade består af to bogstaver og fem tal i en bestemt rækkefølge. Den samme kombination kan kun findes én gang.

 

A) Hvor mange nummerplader er det muligt at lave i Danmark?

B) Hvor mange er det muligt at lave, hvis det første bogstav ikke må være C, E eller I?

C) Hvor mange er det muligt at lave, hvis der ikke må være 0 blandt de første 2 tal?

D) Hvor mange er det muligt at lave, hvis det samme bogstav ikke må gå igen flere gange?

E) Hvor mange er det muligt at lave, hvis alle begrænsninger fra B, C og D gælder?

 

F) Undersøg et nummerpladesystem for et andet land (du må gerne forsimple det lidt, da der kan findes mange lokale regler), og find ud af, hvor mange kombinationer der kan laves med det system.

 

G) Kom med et forslag til et nummerplade system, der har præcis 2.195.200 kombinationsmuligheder.

H) Kom med et forslag til et nummerplade system, der har kombinationsmuligheder nok til at alle mennesker på jorden kan have en bil, der er registreret i det samme nummerpladesystem, dvs. ca. 7 milliader.

 

 

Opgave 12: Kombinatorik på TI-30'eren

 

Lille indskudt lommeregnerkursus ift. kombinatorik!

 

Hvis man hurtigt vil finde antallet af kombinationer i et ordnet eller uordnet scenarie uden tilbagelægning på den klassiske skolelommeregner, som jeg selv anbefaler mine elever er metoden følgende:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Alle funktioner til dette ligger inde under denne knap, hvorpå der er står "prb" (probarbility).

 

ORDNET uden tilbagelægning:

 

Hvis man eksempelvis har 7 at vælge imellem og skal udvælge 3 i en bestemt rækkefølge, så er n=7 og r=3.

På lommeregneren skal der tastes:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 nPr 3 (enter)

 

Herefter fås antallet af forskellige kombinationer i dette scenarie.

 

En huskeregel til at anvende nPr i det ordnede scenarie kan være ordet Placering (altså at rækkefølgen/placeringen er vigtigt). P'et står for permutation).

 

 

UORDNET uden tilbagelægning:

 

Hvis man eksempelvis har 12 at vælge imellem og skal udvælge 8 i en klump, så er n=12 og r=8.

På lommeregneren skal der tastes:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 nCr 8 (enter)

 

Herefter fås antallet af forskellige kombinationer i dette scenarie.

 

På dansk er C'et erstattet af et K (huskeregel: Klumpudtagelse, dvs. at der ikke er nogen rækkefølge, uordnet)

 

 

Fakultet:

 

Ofte i kombinatorik skal man anvende fakultet. Den funktion ligger også under "prb" og så valgmulighed nr. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Øvelser:

 

A) Find P(11,3) med lommeregneren.

B) Find P(9,8) med lommeregneren.

C) Find P(18,2) med lommeregneren.

 

D) Find K(54,5) med lommeregneren.

E) Find K(100,3) med lommeregneren.

f) Find K(7,5) med lommeregneren.