Lineær programmering 2

Når vi arbejder med produktion af varer kan vi nemt komme ud for opgaver, der handler om optimering - dette værende både scenarier, hvor det drejer sig om minimering og maksimering.

 

I landbruget kan man på minimeringssiden været interesserede i finde den mindst mulige løsning ift. gødning, mens man på maksimeringssiden er interesseret i at finde den størst mulige løsning ift. udbytte på markerne.

 

Fremgangsmåde (algoritme) til lineær programmering:

 

1. Historien. Sæt dig ind i historien, hvis der er én (der kan være tale om "rene" matematiske scenarier).

2. Definitioner. Definér de variable (x og y) og funktionen f(x,y). Hvad dækker de over hver især.

3. Begrænsninger og betingelser. Skriv alle de begrænsninger og betingelser op som uligheder, der er i forbindelse med opgaven. Isolér gerne y i ulighederne, bemærk dog at Geogebra ikke behøver det.

4. Polygonområde (løsningsområdet). Indtegn alle ulighederne i et koordinatsystem ud fra de betingelsesuligheder, du netop har skrevet op.

5. Kriteriefunktion. Funktionen, der beskriver det vi ønsker optimeret opstilles f(x,y) = ....

6. Niveaulinje. Vores kriteriefunktion sættes lig 0, og derefter laves en parallelforskydning af denne, der viser i hvilken retning funktionen vokser, dvs. i hvilken retning vores problemløsning optimeres.

7. Konklusion. Niveaulinjen parallelforskydes i den optimale retning, således at der findes en største- eller mindsteværdi, der er den optimale løsning på vores problem. I maksimeringsopgaver findes størsteværdi, og i minimeringsopgaver findes mindsteværdi.

 

Eksempel: Smykkeproduktion

 

Vi følger algoritmen ovenfor (se nummereringen):

 

1. Historien. I vores produktion fremstiller vi to slags smykker; armbånd og halskæder. Armbånd tager 30 min. at fremstille, halskæder tager 45 min. Der er 37 timer til rådighed (2220 minutter). Vi bruger 22cm kæde til armbånd og 50cm kæde til halskæderne. Der er 20 meter kæde til rådighed (2000 cm). Vi tjener 200 kr på armbåndene og 350 kr på halskæderne.

 

2. Definitioner.

x = antallet af fremstillede armbånd

y = antallet af fremstillede halskæder

 

f(x,y) = nettofortjenesten på produktionen af x armbånd og y halskæder

 

3. Begrænsninger og betingelser.

 

30x + 45y < 2220 (den tidsmæssige begrænsning)

22x + 50y < 2000 (den materielle begrænsning)

 

4. Polygonområde.

Det område, hvor de to halvplaner overlapper i 1.kvadrant (dvs. kun positive x- og y-værdier)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Kriteriefunktion.

Vores fortjeneste på x armbånd og y halskæder beskrives med denne multivariable funktion:

f(x,y) = 200x + 350y

 

6. Niveaulinje.

Funktionen f(x,y) sættes lig 0, så niveaulinjen kan laves. Derefter oprettes en parallel linje (en flytbar niveaulinje) gennem et punkt man tilfældigt sætter i 1.kvadrant.

Denne parallelle linje flyttes ud af til den næsten slipper polygonområdet (løsningsområdet).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Linjen g viser os vores fortjeneste på produktionen i punkt A, her 15895,20 kr, ved produktion af 41 armbånd og 21 halskæder.

 

7. Konklusion.

Dette er et maksimeringsproblem, hvor vi gerne vil producere så meget som muligt ud fra vores begrænsninger - og derved tjene mest muligt på produktionen.

Når den flytbare niveaulinje flyttes ud af, kan den maksimalt komme ud til f(41,21), før den forlader løsningsområdet.

Vi runder ned, da vi ikke kan tjene penge på 0,1 armbånd :o)

Den optimale produktion findes ved x=41 og y=21.

Fortjenesten bliver ikke helt de 15895,20 kr, da vi ikke laver 0,1 armbånd og 0,9 halskæde, men vi får:

f(41,21) = 200 kr/stk. * 41 stk. + 350 kr/stk. * 21 stk. = 8200 kr + 7350 kr = 15550 kr

 

Vi kan maksimalt tjene 15550 kr på vores smykkeproduktion på en uge.

 

 

 

*****

 

 

Aktivitet 1: Smartphones og tablet

 

Historie:

 

Vi er en fabrik, der producerer smartphones og tablets. Hvor mange af hver skal vi producere for at tjene mest muligt?

Vi tjener 2500 kr/stk. på smartphones og 4000 kr/stk. på tablets.

Vi har en maksimal lagerplads på 60, smartphones fylder 1 og tablets 3.

Vi har to uger, svarende til 80 arbejdstimer. En smartphone tager 2 timer at producere, og en tablet tager 3 timer.

Definitioner:

 

x = antal smartphones

y = antal tablets

f(x,y) = fortjeneste i kr for et parti varer efter udgifterne er trukket fra

Betingelser og begrænsninger:

 

 

 

 

 

 

 

Polygonområde:

 

Opstil de to uligheder, sæt dem ind i Geogebra en af gangen via inputfeltet og find polygonområdet (løsningsområdet).

 

Kriteriefunktion:

 

Opstil kriteriefunktionen, dvs. funktionen f(x,y), der beskriver vores samlede fortjeneste på x smartphones og y tablets.

 

Sæt funktion lig 0 og indsæt den i Geogebra via inputfeltet.

 

 

 

Niveaulinje:

 

Opret et punkt og en parallel linje til f(x,y) gennem dette punkt.

 

Flyt punktet til det mest maksimumsværdien (det optimale sted).

 

Aflæs x og y.

 

 

 

Konklusion:

 

Ved at aflæse x og y i det optimale punkt kan der konkluderes på, hvor mange smartphones og hvor mange tablet der optimalt kan og skal producere.

 

 

 

*****

 

Video eksempel:

 

I videoen herunder kan stepsne fra 4 - 6 ses lavet udfra disse betingelser:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*****

 

 

Aktivitet 2: Maksimering i produktion af julepynt (med to begrænsende faktorer)

 

Du har en lektion (45 min.)

Du kan vælge mellem at producere julestjerner og julehjerter - eller nogle af begge.

Det tager dig 2 min. at lave et julehjerte, og 3 min. at lave en julestjerne.

Der bruges ét stykke papir til både julehjerter og julestjerner, og du har kun 12 ark papir til rådighed.

Du kan tjene 20 kr på et julehjerte, og 30 kr på en julestjerne.

Lav en analyse magen til ovenstående eksempler, hvor du følger de 7 steps (algoritmen).

Find den optimale fordeling mellem produktionen af hjerter og stjerner.

Find ud af, hvor meget du vil tjene på den optimale produktionsfordeling.

 

Ekstra undersøgelser:

  • Hvad sker der, hvis du får to lektioner i stedet for?
  • Hvad sker der, hvis du kun får 10 ark papir?
  • Hvad sker der, hvis du kan fordoble fortjenesten på julehjerterne?
  • Hvor mange ark papir skal vi have til rådighed, hvis vi vil ende med en fortjeneste på præcis 280 kr?

 

*****

 

 

Aktivitet 3: Maksimering i produktion af møbler (med tre begrænsende faktorer)

 

Vores produktion består af sofaer og sofaborde.

 

Tid: Vi har en arbejdsuge (37 timer) til rådighed. Det tager 3,5 time at producere en sofa, og 0,5 time at producere et sofabord.

Materialer: Vi har 65 materialepakker til rådighed. Til en sofa bruges der 4 pakker, og til et sofabord bruges der 2.

Lagerplads: Vores lagerrum er 70 m3. En sofa fylder 5 m3 og et sofabord fylder 2 m3.

 

Fortjeneste: Vi tjener 7000 kr på sofaer og 3000 kr på sofaborde.

 

Lav en analyse, hvor du følger de 7 steps (algoritmen).

Find den optimale fordeling mellem produktionen af sofaer og sofaborde.

Find ud af, hvor meget du vil tjene på den optimale produktionsfordeling. Bemærk at polygonområdet denne gang bliver femkantet (se billede herunder), og man derfor skal være ekstra omhyggelig med at finde maksimumsværdien for fortjenesten. Niveaulinjens hældning er meget afgørende!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*****

 

Aktivitet 4: Find på historien til tallene og lav analysen (med tre begrænsende faktorer)

 

Nedenfor ses en oversigt over en produktion, og dens begrænsninger samt fortjenester.

Du skal nu omformulere oversigten til en opgave om en produktion, hvor vi bliver klogere på, hvad der produceres, samt hvad begrænsningerne handler om. Forsøg at være så realistisk som muligt.

Efterfølgende skal du lave en analyse af den produktion, du har valgt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ekstra spørgsmål:

 

Er det nødvendigt at kende historien bag tallene for at kunne finde frem til den optimale fordeling i produktionen mellem vare A og B? Begrund dit svar.

Er det nødvendigt at kende historien bag tallene for at kunne optimere produktionen yderligere ved at ændre på begrænsningerne? Begrund dit svar.

 

*****

 

Aktivitet 5: Prøv selv fra bunden (for dem der vil udfordres!!)

 

Nu får du hverken tal eller historie!

Forsøg selv at lave en god opgave med en produktionshistorie og nogle dertilhørende begrænsninger, hvor du vælger nogle tal, der giver et firkantet (eller femkantet) løsningsområde. Det er ikke så nemt, som det lyder.

Hvis dit løsningsområde bliver trekantet til at starte med så prøv at ændre i dine begrænsningers tal, indtil området er firkantet (eller evt. femkantet, hvis du har tre begrænsninger).

 

*****

 

Aktivitet 6: Papirfabrikken