Løsningsmængder

Inden vi arbejder med lineær programmering, skal vi først se lidt på løsningsmængder.

En løsningsmængde er hele "familien" af løsninger. Det kan være løsningerne til en ligning, et ligningssystem, en ulighed m.fl.

Løsningsmængden angives med:          L = {...}         (den særlige parentesform bruges til en liste af tal)

Eksempel:

Til ligningen 5x(x-4) = 0 findes der to løsninger; x=0 og x=4. Denne løsningsmængde opskrives således:

L = {0,4}   

Opgaver:

Find løsningsmængden til følgende ligninger og opskriv dem korrekt:

a)   x2 - 4 = 0

b)   x4 - 40 = 41

c)   Ix-5I = 12

d)   2x + 3x = 5x

e)   3x - 10 =  5x + 12

f)    x2 + 3 = 0

Info: Hvis der ikke findes nogle løsninger kaldes løsningsmængden for "tom" og det skrives  L = {Ø}

Der kan også opstå scenarier, hvor løsningen ikke ligger i den såkaldte grundmængde. Grundmængden er den mængde tal, som løsningen skal findes indenfor, fx inden for de hele, positive tal (N) eller de reelle tal (R).

Ligninger kan som vist have et forskelligt antal løsninger, dog maksimalt den højeste potens af x. Fx kan en andengradsligning højst have TO løsninger, og en tredjegradsligning kan højst have TRE osv. Der er undtagelsen hvis der er uendelig mange løsninger, fx ved 3x=3x

Nu skal vi se nærmere på uligheder. Uligheders løsninger kan nemlig brede sig noget mere ud.

Lad os se på denne ulighed:          x-3 > 10

I dette tilfælde er alle tal fra og uden 13 og opefter løsninger, dvs. L = { ]13;uendelig[ }

Der er altså tale om et interval. (Her kan der tales om åbne og lukkede intervaller).

Lineære funktioner og uligheder

Normalt har vi set på funktioner, skrevet enten således:

y = 3x-9

eller således:

f(x) = 5x+4

Graferne for disse funktioner er rette linjer, hvor sammenhørende værdier for x og y (eller f(x) ) er løsningsmængden for funktionerne.

Når der er tale om funktioner med uligheder kan det fx være opskrevet således:

y < 3x-6                               (eks. 1)

eller

y > 6x+2                              (eks. 2)

Her findes løsningsmængden i et halvplan. I eksempel 1 herover findes løsningerne i halvplanet under linjen y=3x-6. I eksempel 2 findes alle løsningerne i halvplanet over linjen y=6x+2.

Prøv at indskrive funktionerne i Geogebra i inputfeltet nederst (en af gangen). > og < findes som regel ved siden af Z-tasten.

Opgaver:

Indsæt ulighederne i Geogebra (via inputfeltet) og find den grafiske løsning.

a)    y < x2

b)    y <= x3-4x                   (tegnet udtales "mindre end eller lig med")

c)    y >= 11                        (tegnet udtales "større end eller lig med")

d)    y > x5 + 0.5x4

Indsæt disse uligheder to og to i Geogebra, således at der er to uligheder i en Geogebra-fil.

e)   y < 6x      og      y < -2x

f)    y >= 2x+1     og     y >= x+2

g)   y >= -3x+7       og      y < 4

Hvordan ser den fælles løsningsmængde ud grafisk?

****

Iklædte uligheder

Inden vi bevæger og helt over i lineær programmering skal vi forsøge at sætte nogle regnehistorier på forskellige ulighedsfunktioner. For at mindske springet til lineær programmering tager vi eksempler fra forskellige små produktioner.

Aktivitet 1:

Du har en time til rådighed. Du kan vælge mellem at lave to forskellige slags julekonfekt; marcipankugler (x) og slikkepinde (y).

Det tager 5 min. at lave en marcipankugle og 8 min. at lave en slikkepind.

Uligheden kan opstilles på følgende måde:           5x + 8y < 60

Her er x antallet af marcipankugler, y er antallet af slikkepinde, 60 er antallet af minutter til rådighed og de 5 og 8 stammer fra den tid i minutter hver vare tager at producere.

a) Sæt uligheden ind i Geogebra's inputfelt og find den grafiske løsning.

b) Hvad er grundmængden for uligheden, hvis du skal tage højde for historien?

c) Hvor mange forskellige løsninger findes der i grundmængden, hvis du skal tage højde for historien?

d) Hvilke løsninger er de mest optimale?

e) Hvilken løsning er den mindst optimale?

f) Hvor mange marcipankugler kan man højst nå at lave, hvis man skal lave mindst 3 slikkepinde også?

g) Hvad er det største antal konfekt man kan lave, hvis det er ligegyldigt med fordelingen mellem antallet af marcipankugler og antallet af slikkepinde?

h) Med hvilken fordeling af marcipankugler og slikkepinde udnyttes tiden fuldt ud til produktion?

i) Hvilke muligheder har vi, hvis der skal produceres præcis 10 stykker konfekt?

j) Hvordan skal der ændres i uligheden, hvis vi pludselig kun har en halv time til rådighed?

k) Hvordan skal der ændres i uligheden, hvis vi forbedrer os og kan lave marcipankugler på kun 3 minutter pr. stk.?

l) Hvordan skal uligheden ændres, hvis vi i stedet for maksimalt en time er sat til at arbejde i minimum en time?

Aktivitet 2:

Efter aktivitet 1 er du nu klar til selv at opstille ulighedsfunktioner.

Du skal tage tid på, hvor lang tid du er om at producere to forskellige papirfoldninger, fx en flipflop og en æske. Tiden angives i minutter med 1 decimal (fx 4,7 min.)

Du har 4 timer til rådighed.

a) Opstil en ulighedsfunktion, der passer til din produktion.

b) Find den grafiske løsningsmængde med Geogebra.

c) Beskriv dine mest optimale løsninger.

d) Forklar, hvilken parameter vi kan tilføre historien for at det ikke længere nødvendigvis er det mest optimale at producere den vare, der er hurtigst at fremstille?

e) Hvilke begrænsende faktorer kan der være i en produktion udover tid?

Aktivitet 3:

Som en lille ekstraudfordring tilføres en tredje vare til produktionen.

Produktionen består denne gang af 3 slags armbånd; A, B og C.

A tager 9 minutter at producere. B tager 3 minutter at producere. Og C tager 16 minutter at producere.

Der er en normal arbejdsuge på 37 timer til rådighed.

a) Hvor mange ubekendte skal uligheden indeholde, og hvordan kan de hver især benævnes?

b) Opstil uligheden til produktionen.

c) Afprøv, hvad der sker, hvis uligheden skrives ind i Geogebra.... (Nu ikke smide computeren ud af vinduet!)

d) Gå ind i 3d grafik i Geogebra (Under "Vis"). Lav uligheden om til en lighed ved at erstatte < med = og skriv det ind i inputfeltet. Hvad ser du, hvis du zoomer tilpas meget ud?

e) Beskriv hvordan løsningsmængden kan ses via det tredimensionelle plan.

f) Hvilke værdier kan x, y og z ikke antage uanset tiden, der stilles til rådighed? (Hvad er grundmængden?)

g) Åbn filen her: https://ggbm.at/BPqVwvFr , der hører til aktivitet 3. Ved at flytte på punktet A skal du finde mindst 3 forskellige brugbare løsninger til ligningen.